哈恩-巴拿赫定理：在满足一定条件下，局部定义的线性泛函可以被“安全地”扩展到全局

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4月7日修改

1. 定理陈述

哈恩-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem）是泛函分析中的核心定理，主要研究线性泛函的扩张问题。其最常见形式如下：​

定理（实数域）：

设 X 是一个实线性空间，
 是一个次线性泛函，
 是 X 的一个线性子空间，
 是一个线性泛函，且满足  ​

则存在 X 上的线性泛函 F，使得：

1.
（即 F 是 F 的扩张）；  ​

2.
。​

对于复数域的情况，定理的表述类似，但需要额外的条件（如泛函的实线性）。​

2. 关键概念解析

2.1 次线性泛函（Sublinear Functional）

次线性泛函是哈恩-巴拿赫定理的核心条件，定义如下：

•
次可加性：
​

•
正齐次性：
​

•
次线性泛函的性质：任何范数 
 或半范数都是次线性的（因为满足三角不等式和正齐次性）。​

2.2 线性子空间与线性泛函

•
线性子空间 
：满足对加法和数乘封闭。  ​

•
线性泛函 
：满足
​

3. 定理的意义与作用

哈恩-巴拿赫定理的核心作用是：

1.
扩展线性泛函：将定义在子空间上的线性泛函扩展到整个空间，同时保持其有界性。  ​

2.
存在性保证：证明赋范空间的对偶空间（所有连续线性泛函的集合）“足够丰富”，即对任何非零向量，存在泛函使其非零。  ​

3.
凸集分离定理：其几何形式允许用超平面分离凸集，是优化和凸分析的基础。​

4. 证明思路（基于佐恩引理）

哈恩-巴拿赫定理的证明依赖于**佐恩引理**（等价于选择公理），以下是关键步骤：​

1.
构造扩展的候选集合：定义所有满足条件的局部扩展的集合：
​

通过偏序

当且仅当

且

，将

转化为偏序集。

2.
验证佐恩引理条件：  ​
◦
对任意链 
，其并集 
 是线性子空间，定义 
（对 
）可得上界。  ​
◦
由佐恩引理，
 存在极大元  (N, g) 。​

3.
证明极大元即为全空间的扩展：若 
，则存在 
，可构造  g  在 
 上的扩展（类似步骤 1），矛盾。因此 N = X，得证。​

5. 定理的变体与应用

5.1 常见变体

•
范数形式：若 X 是赋范空间，F 是 M 上的连续线性泛函（即 
），则存在扩张 
（对偶空间）满足 
。
​

•
复数域：若 X 是复线性空间，需额外要求 F 是实线性的（即对实数 
，
），否则需调整条件。​

5.2 应用实例

•
对偶空间的丰富性：证明任何非零向量 
 存在 
 使得 
，确保对偶空间非退化。​

哈恩-巴拿赫定理：在满足一定条件下，局部定义的线性泛函可以被“安全地”扩展到全局​