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环（Ring）
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环（Ring）
环（Ring）
用户9314用户93142025年4月9日修改
1. 环的定义
环（Ring）是一个带有两种二元运算的代数结构，通常记作
，其中：
•
集合 R 是非空的。
•
运算 包括：
a.
加法（
）：满足交换群的性质（即加法群）。
b.
乘法（
）：满足结合律，并且对加法满足分配律。
具体公理如下：
•
加法群公理：加法阿贝尔群
◦
封闭性：对任意
，
。
◦
结合律：对任意
，
。
◦
交换律：对任意
，
。
◦
单位元：存在元素
，使得对任意
，
。
◦
逆元：对任意
，存在
，使得
。
•
乘法公理：乘法半群
◦
封闭性：对任意
，
。
◦
结合律：对任意
，
。
•
分配律：
◦
左分配律：对任意
，
。
◦
右分配律：对任意
，
。
2. 环的分类
根据环的额外性质，可以进一步分类：环 (Ring) 的分类
(1) 含幺环（Ring with Identity）： 乘法幺群？（非0单位元）
•
定义：存在乘法单位元
（
），使得对任意
，有
。
•
例子：整数环
、多项式环
（其中 R 是含幺环）。
(2) 交换环（Commutative Ring）：
•
定义：乘法满足交换律，即对任意
，
。
•
例子：整数环
、多项式环
（当 R 是交换环时）。
(3) 无零因子环（Ring without Zero Divisors）
•
定义：若
，则必有
或
。 （不会出现a*b=0, a，b！=0））
•
例子：整数环
、域上的多项式环。
(4) 域（Field） (乘法阿贝尔群)
•
定义：当环 R 是含幺交换环，并且每个非零元都有乘法逆元时，称为域。
•
例子：实数域
、复数域
、有理数域
。
3. 环的例子
(1) 整数环
•
结构：加法为普通加法，乘法为普通乘法。
•
性质：是交换含幺环，且无零因子。
(2) 多项式环
•
定义：所有系数在环 R 中的多项式构成的集合。
•
运算：多项式加法和乘法。