陪集 (Coset)

用户9314

2025年4月8日修改

1.
正规子群构造出陪集，有限群正规子群一般分群为左右陪集，且相等。无限群构造出的陪集可能是多个，比如mZ构造出m个陪集​

2.
构造出的陪集作为元素，构造商群， ​

3.
研究商群的特征。从而获取群的性质。​

1. 陪集的定义

在群论中，给定一个群 G 和它的子群 H，对于 G 中的任意元素 G，可以定义以下两种类型的陪集：​

•
左陪集（Left Coset）：
即用 G 左乘 H 中的每一个元素得到的集合。​

•
右陪集（Right Coset）：
即用 G 右乘 H 中的每一个元素得到的集合。​

注意：

•
左陪集和右陪集的名称依赖于子群 H 的选择。例如，右陪集 Hg 可以视为某个共轭子群 
 的左陪集。​

•
仅当 H 是**正规子群**（即对所有 
，有  gH = Hg ）时，左陪集和右陪集才完全相同。​

2. 陪集的性质

陪集具有以下重要性质：

1.
等价关系与划分：​
◦
对于任意 
，若 
，则 gH = g'H。（即两个左陪集要么完全相同，要么完全不相交。）​
◦
因此，所有左陪集的并集覆盖整个群 G，且互不重叠，形成群 G 的一个**划分**。​
◦
这一性质可以通过定义等价关系 
 来理解，陪集即为等价类。​

2.
大小相等：​
◦
每个左陪集（或右陪集）的基数（元素个数）与子群 H 的阶数相同。证明思路：通过映射 
，可以建立 H 与 gH 之间的双射（一一对应）。​

3.
代表元：​
◦
每个陪集可以由一个代表元（如 G）唯一标识。例如，左陪集 gH 的代表元是 G。​

4.
子群的陪集：​
◦
若 
，则左陪集  
，右陪集 \( Hg = H \)。​

3. 拉格朗日定理

拉格朗日定理是陪集理论的核心结论之一：

•
定理内容：若 G 是有限群，H 是 G 的子群，则 \( |H| \) 整除 \( |G| \)，即 
，其中 \( [G : H] \) 称为子群 H 在 G 中的**指数**（即不同陪集的个数）。​

•
直观意义：有限群 G 的阶数是其子群 H 的阶数的倍数，而陪集的划分提供了这一结论的直接证明。​

4. 陪集的实例

实例1：整数加群的陪集

•
设 
 是整数加群，
 是  m  的倍数构成的子群（ m  为正整数）。​

•
左陪集：对于任意整数  a ，左陪集 
，即模 m  下与  a  同余的整数集合。​

•
划分：所有陪集为 
，共  m  个，对应模  m  的同余类。​

实例2：循环群的陪集

•
设 
，子群 
。​

陪集 (Coset) ​