杭州弈儒软件技术有限公司飞书用户9314
格（ Lattice）：研究偏序关系的代数结构
输入“/”快速插入内容
格（ Lattice）：研究偏序关系的代数结构
格（ Lattice）：研究偏序关系的代数结构
飞书用户93144月7日修改
一、格理论的数学定义
1. 偏序格（Order-Theoretic Lattice）
格（Lattice）是数学中研究**偏序关系**（Partial Order）的结构，其核心是元素间的**上确界**（Supremum，最小上界）和**下确界**（Infimum，最大下界）。
•
偏序集（Poset）：一个集合 \( L \) 上定义一个二元关系 \( \leq \)，满足：
◦
自反性：\( a \leq a \)；
◦
反对称性：若 \( a \leq b \) 且 \( b \leq a \)，则 \( a = b \)；
◦
传递性：若 \( a \leq b \) 且 \( b \leq c \)，则 \( a \leq c \)。
•
格的定义：若 \( L \) 中**任意两个元素** \( a, b \) 都存在：
◦
上确界（记作
）：最小的元素 c 满足
且
；
◦
下确界（记作
）：最大的元素 d 满足
且
，则称
为偏序格。
2. 代数格（Algebraic Lattice）
从代数角度，格可以定义为集合 L 上的两个二元运算：
•
交运算（Meet，记作
）：对应下确界；
•
并运算（Join，记作
）：对应上确界。
满足以下公理：
1.
交换律：\( a \land b = b \land a \)，\( a \lor b = b \lor a \)；
2.
结合律：\( (a \land b) \land c = a \land (b \land c) \)，\( (a \lor b) \lor c = a \lor (b \lor c) \)；
3.
吸收律：\( a \land (a \lor b) = a \)，\( a \lor (a \land b) = a \)。
等价性：偏序格与代数格是等价的，可通过以下方式转换：
•
由偏序定义运算：\( a \land b \) 是下确界，\( a \lor b \) 是上确界；
•
由运算定义偏序：
（或
）。
二、格的类型与性质
1. 格的常见类型
1.
分配格（Distributive Lattice）：满足分配律：
，
。
◦
例子：实数的区间、集合的并/交构成的格。
2.
有补格（Complemented Lattice）：每个元素 a 存在补元 b ，满足：
（全集或最大元），
（空集或最小元）。
◦
例子：集合的幂集格。
3.
布尔格（Boolean Lattice）：同时满足分配性和有补性，是布尔代数的格结构。
◦
例子：集合的幂集格，命题逻辑的真值表。
4.
完备格（Complete Lattice）：任意子集（不限于有限集）都有上确界和下确界。
◦
例子：实数集扩展为包含
后的格。
2. 格的对偶性
•
对偶原理：若某性质在格 \( L \) 中成立，则其对偶性质（交换 \( \leq \) 为 \( \geq \)，\( \lor \) 与 \( \land \) 互换）在对偶格
中也成立。
◦
例如：分配律在分配格中成立，则其对偶（交换 \( \lor \) 和 \( \land \)）也成立。
三、格的实例与直观理解
1. 数学中的经典例子