ζ函数（Zeta Function）

用户9314

2025年5月20日修改

ζ函数是数学中一类重要的复变函数，最著名的是黎曼ζ函数 （Riemann Zeta Function），它在数论、分析、物理等领域具有核心地位。以下从定义、性质、应用及未解问题等方面系统介绍。​

•

1. 黎曼ζ函数的定义

(1) 级数定义（当 Re(s) > 1 时收敛）

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参数范围：初始定义仅对复平面中实部 Re(s) > 1 的复数收敛。​

50%

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与素数关联（欧拉乘积公式）：
    揭示ζ函数与素数分布的深刻联系。​

(2) 解析延拓

通过函数方程 将ζ函数延拓至整个复平面（除 \( s=1 \) 处的一阶极点）：​

其中

为Gamma函数。

2. 关键性质

(1) 特殊值

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正整数偶数点：
   例如：
​

•
负整数与奇数点：
    例如：
​

50%

ζ函数（Zeta Function）​