伴随算符：保持內积关系的唯一线性算符

用户9314

2025年4月26日修改

伴随算符（Adjoint Operator）是线性代数、泛函分析及量子力学中的核心概念，用于描述线性算符在內积空间中的“对偶”作用。其本质是保持內积关系的唯一线性算符，是理解厄密算符、幺正算符等概念的基础。以下从数学定义、性质、物理意义及应用场景全面解析伴随算符。​

1. 基本定义

伴随算符（Adjoint Operator）是內积空间中对任意线性算符 A 唯一存在的线性算符 
，满足对任意向量 
：​

或等价地：

关键点：

•
存在性与唯一性：在有限维空间中，伴随算符总存在且唯一；在无限维空间中，需满足稠密定义域条件。​

•
符号表示：伴随算符通常用 
（dagger）表示，矩阵形式为共轭转置。​

2. 数学构造

(1) 有限维空间（矩阵）

若 A 是

复矩阵，其伴随矩阵

为：

即先对矩阵元素取复共轭，再转置矩阵。

示例：

矩阵

，则：

(2) 无限维空间（函数空间）

对于作用在函数空间

的线性算符 A，其伴随算符

定义为：

示例：动量算符

的伴随为：

验证：

3. 核心性质

(1) 基本运算规则

•
线性性：
，其中 
。​

•
逆算符的伴随：若 A 可逆，则 
。​

•
乘积的伴随：
。​

(2) 伴随的伴随

对任意算符 A，有：

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